МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ МОДЕЛІ ЧУТЛИВОСТІ СИСТЕМИ ДО СВОЇХ ПОЧАТКОВИХ УМОВ
MODELING OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS ON THE BASIS OF THE SYSTEM SENSITIVITY MODEL TO ITS INITIAL CONDITIONS
Сторінки: 99–103. Номер: №3, 2022 (309) 
Автори:
БІЛИЙ Л. А.
Хмельницький національний університет
ПОЛІЩУК О. С.
Хмельницький національний університет
https://orcid.org/0000-0002-9764-8561
e-mail: opolishchuk71@gmail.com
ЛІСЕВИЧ С. П.
Хмельницький національний університет
https://orcid.org/0000-0002-5501-9038
e-mail: lisevichsv@gmail.com
ЗАЛІЗЕЦЬКИЙ А. М.
Хмельницький національний університет
https://orcid.org/0000-0002-0914-0814
e-mail: zam09042020@gmail.com
МЕЛЬНИК В. І.
Хмельницький національний університет
https://orcid.org/0000-0002-1173-4638
e-mail: oks81mik@i.ua
Leonid BILYI, Oleh POLISHCHUK,
Svitlana LISEVICH, Anatoly ZALIZETSKY, Vasiliy MELNIK
Khmelnytskyi National University
DOI: https://www.doi.org/10.31891/2307-5732-2022-309-3-99-103
Анотація мовою оригіналу
Представлено типовий підхід для побудови та аналізу моделі об’єкта. Визначено, що задачі аналізу нелінійних систем складаються з розрахунку перехідних процесів і процесів, що встановилися; визначення статичної та динамічної стійкості знайдених процесів; розрахунку чутливості вихідних характеристик системи до зміни її внутрішніх та зовнішніх параметрів. Встановлено, що ефективність аналізу в цілому визначається не тільки ефективністю алгоритмів кожного з етапів розрахунку, а і узгодженістю математичного апарату, який лежить в їх основі. Визначено, що розрахунок перехідних процесів зводиться до задачі з початковими умовами, у яких значення залежних змінних задаються для одного і того ж значення незалежної змінної, а саме часу. Визначено, що нелінійні динамічні системи, моделі яких побудовано на якісній теорії загальних диференціальних рівнянь, є основним інструментом вирішення багатьох практичних задач. Встановлено, що це пояснюється такими факторами: наявністю добре розвиненого аналітичного апарату та чисельних методів розв’язання загальних диференціальних рівнянь; прозорістю та природністю загальних диференціальних рівнянь як математичної моделі для опису процесу переходу реальних об’єктів з одного стану до іншого під дією зовнішніх та внутрішніх причин; наявністю загальнодоступних якісних методів дослідження рішень загальних диференціальних рівнянь, зокрема методів оцінки стійкості, аналізу поведінки рішень в межах особливих точок та їх асимптотичної поведінки. Зазначено обставини, які призводять до того, що системи, які описуються звичайними диференціальними рівняннями, є методично дуже зручним матеріалом для створення загальних алгоритмів дослідження динамічних систем. Побудовано математичну модель чутливості до початкових умов на основі неоднорідних диференціальних рівняннях першої варіації, що відкриває можливості для розвʼязання основних задач аналізу, якими є: розрахунок перехідних процесів та процесів, що встановилися; визначення статичної стійкості та розрахунок параметричної чутливості, на основі єдиного алгоритму вирішення двоточкової Т-періодичної крайової задачі для звичайних нелінійних диференціальних рівнянь.
Ключові слова: нелінійна динамічна система, диференційне рівняння, періодична крайова задача, метод Коші.
Розширена анотація англійською мовою
A typical approach for building and analyzing an object model is presented. It is determined that the tasks of analysis of nonlinear systems consist of: calculation of transients and established processes; determination of static and dynamic stability of the found processes; calculation of the sensitivity of the initial characteristics of the system to changes in its internal and external parameters. It is established that the efficiency of the analysis as a whole is determined not only by the efficiency of the algorithms of each of the stages of calculation, but also by the consistency of the mathematical apparatus that underlies them. It is determined that the calculation of transients is reduced to a problem with initial conditions in which the values of dependent variables are set for the same value of the independent variable, namely time. It is determined that nonlinear dynamic systems whose models are built on the qualitative theory of general differential equations are the main tool for solving many practical problems. It is established that this is explained by the following factors: the presence of a well-developed analytical apparatus and numerous methods of solving general differential equations; transparency and naturalness of general differential equations as a mathematical model to describe the process of transition of real objects from one state to another for external and internal causes; The availability of public qualitative methods of studying decisions of general differential equations, in particular methods of evaluation of stability, analysis of behavior within special points and their asymptotic behavior. The circumstances that lead to the fact that the systems described by conventional differential equations are a methodically very convenient material to create general algorithms for the study of dynamic systems. A mathematical model of sensitivity to the initial conditions is constructed on the basis of heterogeneous differential equations of the first variation, which opens up opportunities for solving the basic problems of analysis, which are: calculation of transitional processes and processes that have been established; Determination of static stability and calculation of parametric sensitivity, on the basis of a single algorithm for solving a two-point T-periodic marginal problem for conventional nonlinear differential equations.
Keywords: nonlinear dynamic system, differential equation, periodic marginal problem, basket method.
Література
- Холл Дж., Уатт Дж. Современные многочисленное методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Изд-во «Мир». 1999. 311 с.
- Aprille T.I., Trick T.N. A computer algorithm to determine the steady – state response of non linear oscialators. IEEE, Trance. Circuit Theory. 1972. Vol. CT–19. P. 354–360.
- Коддингатон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Изд-во «Мир». 1995. 395 с.
References
- Holl Dzh., Uatt Dzh. Sovremennye mnogochislennoe metody reshenija obyknovennyh differencial’nyh uravnenij. M. : Izd-vo «Mir». 1999. 311 s.
- Aprille T.I., Trick T.N. A computer algorithm to determine the steady – state response of non linear oscialators. IEEE, Trance. Circuit Theory. 1972. Vol. CT–19. P. 354–360.
- 3. Koddingaton Je.A., Levinson N. Teorija obyknovennyh differencial’nyh uravnenij. M. : Izd-vo «Mir». 1995. 395 s
