Надіслати статтю
вул. Інститутська 11, м. Хмельницький, 29016
visnyk.khnu@khmnu.edu.ua
(0382) 67-51-08

УМОВНІ ЛІНІЙНІ ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ З ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

DISCRETE-TIME CONDITIONAL LINEAR RANDOM PROCESSES AND THEIR PROPERTIES

Сторінки: 7-12. Номер: №3, 2022 (309)  
Автори:
ФРИЗ М. Є.
Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя
https://orcid.org/0000-0002-8720-6479
e-mail: mykh.fryz@gmail.com
МЛИНКО Б. Б.
Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя
https://orcid.org/0000-0003-0780-5365
e-mail: b.mlynko@gmail.com
Mykhailo FRYZ, Bogdana MLYNKO
Ternopil Ivan Puluj National Technical University
DOI: https://www.doi.org/10.31891/2307-5732-2022-309-3-7-12
Анотація мовою оригіналу
Умовні лінійні випадкові процеси з неперервним часом зображаються у вигляді стохастичного інтеграла від випадкового ядра за процесом із незалежними приростами. Такі процеси використовуються в задачах математичного та комп’ютерного моделювання, опрацювання стохастичних сигналів, фізична природа породження яких допускає їх представлення у вигляді суми великого числа випадкових імпульсів, які виникають у пуассонівські моменти часу. Імпульси при цьому є стохастично залежними функціями, на відміну від іншої поширеної математичної моделі – лінійного випадкового процесу, який має подібну структуру, але являє собою суму великого числа незалежних випадкових імпульсів, що виникають у пуассонівські моменти часу. Прикладними областями, де є поширеними згадані моделі є математичне, комп’ютерне моделювання та опрацювання електроенцефалографічних сигналів, кардіосигналів, процесів ресурсоспоживання, радіолокаційних сигналів та ін.
У даній роботі наведено означення умовного лінійного випадкового процесу (УЛВП) з дискретним часом, показано його зв’язок із відповідною моделлю з неперервним часом. Відповідно до наведеного означення УЛВП із дискретним часом можна трактувати як відгук лінійного цифрового фільтра з випадковими параметрами на вплив білого шуму з безмежно подільним розподілом. Проведено аналіз моментних функцій першого і другого порядку УЛВП із дискретним часом, зокрема, отримано вирази для його математичного сподівання, дисперсії та кореляційної функції.
Результати можуть бути використані для дослідження ймовірнісних характеристик досліджуваних інформаційних стохастичних сигналів, які для конкретних прикладних задач будуть залежати від властивостей відповідного ядра та породжуючого білого шуму в зображенні УЛВП. Зокрема, в роботі наведено умови, яким повинні задовольняти складові УЛВП із дискретним часом для того, щоб цей процес був стаціонарним у широкому розумінні.
Ключові слова: математична модель, умовний лінійний випадковий процес, математичне сподівання, кореляційна функція, ядро, білий шум, стаціонарний процес.

Розширена анотація англійською  мовою

Continuous-time conditional linear random process is represented as a stochastic integral of a random kernel driven by a process with independent increments. Such processes are used in the problems of mathematical modelling, computer simulation, and processing of stochastic signals, the physical nature of which generates them to be represented as the sum of many random impulses that occur at Poisson moments. Impulses are stochastically dependent functions, in contrast to another well-known mathematical model which is a linear random process, that has a similar structure but is represented as the sum of a large amount of independent random impulses that occur at Poisson moments of time. The application areas of these models are mathematical modelling, computer simulation, and processing of electroencephalographic signals, cardio signals, resource consumption processes (such as electricity consumption, water consumption, gas consumption), radar signals, etc.
A discrete-time conditional linear random process has been defined in the paper, the relationships with corresponding continuous-time model has been shown. According to the given definition the discrete-time conditional linear random process can be considered as an output of linear digital filter with random parameters on the input of the white noise which is infinitely divisible distributed. Moment functions of first and second order have been analyzed. In particular, the expressions for mathematical expectation, variance and covariance function have been obtained.
The results can be utilized to study the probabilistic characteristics of the investigated information stochastic signals, which will depend on the properties of the corresponding kernel and white noise. In particular, the conditions for the process to be wide-sense stationary have been represented.
Keywords: mathematical model, conditional linear random process, mathematical expectation, covariance function, kernel, white noise, stationary process.

Література

  1. Babak V. P. Methods and Models for Information Data Analysis / V. P. Babak, S. V. Babak, A. O. Zaporozhets, M. V. Myslovych, V. M. Zvaritch // Diagnostic Systems For Energy Equipments, volume 281 of Studies in Systems, Decision and Control. – Springer, Cham, 2020. – P. 23–70. – DOI: doi.org/10.1007/978-3-030-44443-3_2
  2. Фриз М. Е. Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов / М. Е. Фриз, Л. Н. Щербак // Электронное моделирование. — К. : Ин.-т проблем моделирования в энергетике им. Г. Е. Пухова НАН Украины, 2010. — Т. 32. — № 1. — C. 3–14.
  3. Фриз М. Є. Властивість перемішування та ергодичність лінійних процесів у задачах математичного моделювання та статистичного аналізу випадкових сигналів / М. Є. Фриз, Л. М. Щербак // Моделювання та інформаційні технології : збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова НАН України. — К., 2009. — Вип. 51. — С. 53–57.
  4. Pierre P. A. Central Limit Theorems for Conditionally Linear Random Processes / P. A. Pierre // SIAM J. of Applied Math. — 1971. — Vol. 20, № 3. — P. 449–461. – DOI: http://doi.org/10.1137/0120048
  5. Фриз М. Є. Властивості умовних лінійних процесів та їх застосування в прикладних задачах математичного моделювання стохастичних сигналів / М. Є. Фриз // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: збірник наукових праць. – 2012. – Вип. 6. – С. 228–238.
  6. Fryz M. Characteristic Function of Conditional Linear Random Process / M. Fryz, L. Scherbak, M. Karpinski, B. Mlynko // Proceedings of the 1st International Workshop on Information Technologies: Theoretical and Applied Problems. – Ternopil, Ukraine, 2021. – C. 129–135.
  7. Фриз М. Є. Статистичний аналіз періодичної авторегресії з випадковими коефіцієнтами в задачах оперативного прогнозування електроспоживання підприємств / М. Є. Фриз, Л. М. Щербак // Технічна електродинаміка. – К. : Інститут електродинаміки Національної академії наук України, 2019. – Вип. 2. – С. 38–47. – DOI: https://doi.org/10.15407/techned2019.02.038
  8. Fryz M. Conditional linear random process and random coefficient autoregressive model for EEG analysis / M. Fyz // Proceedings of the 2017 IEEE First Ukraine Conference on Electrical and Computer Engineering. – Kyiv Ukraine, 2017. – P. 305–309. – DOI:10.1109/UKRCON.2017.8100498
  9. Iwankiewicz R. Dynamic response of mechanical systems to impulse process stochastic excitations: Markov approach / R. Iwankiewicz // Journal of Physics: Conference Series, 2016.
  10. Fryz M., Mlynko B. Properties of Stationarity and Cyclostationarity of Conditional Linear Random Processes / M. Fryz, B. Mlynko // Proceedings of the 2020 IEEE 15th International Conference on Advanced Trends in Radioelectronics, Telecommunications and Computer Engineering (TCSET). – Lviv, Slavske, Ukraine, 2020. – P. 166–170. – DOI: 10.1109/TCSET49122.2020.235415
  11. Chen P. Strong laws for randomly weighted sums of random variables and applications in the bootstrap and random design regression / P. Chen, T. Zhang, S. H. Sung // Statistica Sinica. – 2019. – Vol. 29, No. 4. – P. 1739–1749. – DOI: 10.5705/ss.202017.0106
  12. Vasudeva R. Limit Theorems for randomly weighted sums of random variables / R. Vasudeva // ProbStat Forum. – 2018. – Volume 11. – P. 8–18.
  13. Kevei P. The asymptotic distribution of randomly weighted sums and self-normalized sums / P. Kevei, D. Mason // Electron. J. Probab. – 2012. – Vol. 17. – P. 1–21. – DOI: 10.1214/EJP.v17-2092
  14. Krizmanić D. Maxima of linear processes with heavy-tailed innovations and random coefficients / D. Krizmanić // J. Time Ser. Anal. – – Volume 43, Issue2. – P. 238–262.
  15. Marek T. On invertibility of a random coefficient moving average model / T. Marek // Kybernetika. – 2005. – Vol. 41, No. 6. – P. 743–756.

References

  1. Babak V. P. Methods and Models for Information Data Analysis / V. P. Babak, S. V. Babak, A. O. Zaporozhets, M. V. Myslovych, V. M. Zvaritch // Diagnostic Systems For Energy Equipments, volume 281 of Studies in Systems, Decision and Control. – Springer, Cham, 2020. – P. 23–70. – DOI: doi.org/10.1007/978-3-030-44443-3_2
  2. Fryz M. Ergodic properties of linear processes in problems of random signal mathematical modelling and statistical analysis / M. Fryz, L. Scherbak // Electronic Modeling. – 2010. – V. 32. – No.1. – PP. 3 – 14.
  3. Fryz M. Mixing property and ergodicity of linear processes in the problems of random signal mathematical modelling and statistical analysis / M. Fryz, L. Scherbak // Modeliuvannia ta informatsiini tekhnolohii : zbirnyk naukovykh prats Instytutu problem modeliuvannia v enerhetytsi im. H. Ye. Pukhova NAN Ukrainy. — К., 2009. — Vol. 51. — PP. 53–57.
  4. Pierre P. A. Central Limit Theorems for Conditionally Linear Random Processes / P. A. Pierre // SIAM J. of Applied Math. — 1971. — Vol. 20, № 3. — P. 449–461. – DOI: http://doi.org/10.1137/0120048
  5. Fryz M. Properties of conditional linear random processes and their applications in the applied problems of stochastic signal mathematical modelling / M. Fryz // Matematychne ta kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Tekhnichni nauky: zbirnyk naukovykh prats, 2012. – Vol. 6. – P.228–238. doi: https://doi.org/10.32626/2308-5916.2012-6.228-238
  6. Fryz M. Characteristic Function of Conditional Linear Random Process / M. Fryz, L. Scherbak, M. Karpinski, B. Mlynko // Proceedings of the 1st International Workshop on Information Technologies: Theoretical and Applied Problems. – Ternopil, Ukraine, 2021. – C. 129–135.
  7. Fryz M. Statistical analysis of random coefficient periodic autoregression and its application for short-term electricity consumption forecasting / M. Fryz, L. Scherbak // Tekhnichna elektrodynamika. – К. : Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine, 2019. – Vol. 2. – PP. 38 – 47. doi: https://doi.org/10.15407/techned2019.02.038
  8. Fryz M. Conditional linear random process and random coefficient autoregressive model for EEG analysis / M. Fyz // Proceedings of the 2017 IEEE First Ukraine Conference on Electrical and Computer Engineering. – Kyiv Ukraine, 2017. – P. 305–309. – DOI:10.1109/UKRCON.2017.8100498
  9. Iwankiewicz R. Dynamic response of mechanical systems to impulse process stochastic excitations: Markov approach / R. Iwankiewicz // Journal of Physics: Conference Series, 2016.
  10. Fryz M., Mlynko B. Properties of Stationarity and Cyclostationarity of Conditional Linear Random Processes / M. Fryz, B. Mlynko // Proceedings of the 2020 IEEE 15th International Conference on Advanced Trends in Radioelectronics, Telecommunications and Computer Engineering (TCSET). – Lviv, Slavske, Ukraine, 2020. – P. 166–170. – DOI: 10.1109/TCSET49122.2020.235415
  11. Chen P. Strong laws for randomly weighted sums of random variables and applications in the bootstrap and random design regression / P. Chen, T. Zhang, S. H. Sung // Statistica Sinica. – 2019. – Vol. 29, No. 4. – P. 1739–1749. – DOI: 10.5705/ss.202017.0106
  12. Vasudeva R. Limit Theorems for randomly weighted sums of random variables / R. Vasudeva // ProbStat Forum. – 2018. – Volume 11. – P. 8–18.
  13. Kevei P. The asymptotic distribution of randomly weighted sums and self-normalized sums / P. Kevei, D. Mason // Electron. J. Probab. – 2012. – Vol. 17. – P. 1–21. – DOI: 10.1214/EJP.v17-2092
  14. Krizmanić D. Maxima of linear processes with heavy-tailed innovations and random coefficients / D. Krizmanić // J. Time Ser. Anal. – – Volume 43, Issue2. – P. 238–262.
  15. Marek T. On invertibility of a random coefficient moving average model / T. Marek // Kybernetika. – 2005. – Vol. 41, No. 6. – P. 743–756.

 

Post Author: Горященко Сергій

Translate