Математичне моделювання дифузії пасивної домішки в рідкому середовищі під впливом ультразвуку

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЇ ПАСИВНОЇ ДОМІШКИ В РІДКОМУ СЕРЕДОВИЩІ ПІД ВПЛИВОМ УЛЬТРАЗВУКУ

MATHEMATICAL MODELLING OF PASSIVE IMPURITY DIFFUSION IN A LIQUID MEDIUM UNDER THE INFLUENCE OF ULTRASOUND

Сторінки: 296-301. Номер: №5, 2020 (289)
Автори:
В.П. ХОРОЛЬСЬКИЙ, В.М. СЕРЕБРЕНИКОВ, Ю.М. КОРЕНЕЦЬ
Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського, м. Кривий Ріг
V. KHOROLSKY, V. SEREBRENIKOV, Yu. KORENETS
Donetsk National University of Economy and Trade named after Mikhailo Tugan-Baranovsky, Kryvyi Rih
DOI: https://www.doi.org/10.31891/2307-5732-2020-289-5-296-301
Рецензія/Peer review : 05.10.2020 р.
Надрукована/Printed : 27.11.2020 р.

Анотація мовою оригіналу

У статті розглядається питання розробки математичної моделі процесу дифузії пасивної домішки в рідкому середовищі під впливом ультразвуку. При проходженні ультразвукової хвилі через рідке середовище відбувається явище акустичної кавітації. На відміну від гідродинамічної кавітації, вона виникає не локально, а за усім об’ємом рідини, оскільки викликається областями розрідження в ультразвуковій хвилі, тиск в яких нижчий за тиск насичених парів рідкого середовища. Наявність акустичної кавітації викликає труднощі математичного моделювання даного процесу. Як відомо, пасивна домішка в рідкому середовищі не впливає на гідродинаміку потоку і це дозволяє розглядати гідродинамічну задачу окремо від задачі масопереносу. Фізика процесу дифузії домішки в рідкому середовищі під впливом ультразвуку доволі складна, але якісно її можна представити у такий спосіб: під час акустичної кавітації за усім об’ємом відбуваються коливання та схлопування бульбашок, із-за цього в системі утворюються мікроскопічні кумулятивні струмені та ударні хвилі, що сприяє інтенсифікації перемішування домішки в рідкому середовищі. Необхідно відзначити, що таке перемішування відбувається локально, без наявності макроскопічної течії. Це наводить на аналогію з турбулентністю, де визначальними є пульсації та дрібні вихори. Отже, одним із підходів до моделювання такого локального перемішування в теорії турбулентності є гіпотеза Буссінеска. Проте гіпотеза Буссінеска з теорії турбулентності дає можливість описати локальне перемішування, яке виникає при акустичній кавітації, за допомогою коефіцієнта кавітаційної дифузії. Це обумовило можливість застосування методів математичної фізики для моделювання процесу дифузії пасивної домішки в рідкому середовищі під впливом ультразвуку. У процесі дослідження було обґрунтовано доцільність побудови математичної моделі у вигляді диференціального рівняння в приватних похідних другого порядку параболічного типу з граничними умовами другого типу.
Ключові слова: математичне моделювання, дифузія, пасивна домішка, рідке середовище, ультразвук.

Розширена анотація англійською мовою

The article considers the question of developing a mathematical model of the process of diffusion of passive impurities in a liquid medium under the influence of ultrasound. When an ultrasonic wave passes through a liquid medium, the phenomenon of acoustic cavitation occurs. Unlike hydrodynamic cavitation, it does not occur locally, but throughout the volume of the liquid, because it is caused by rarefaction regions in the field of ultrasonic vibrations, the pressure of which is lower than the saturated vapour pressure of the liquid medium. The presence of acoustic cavitation causes difficulties in mathematical modelling of this process. As is known, the passive impurity in a liquid medium does not affect the hydrodynamics of the flow and this allows us to consider the hydrodynamic problem separately from the problem of mass transfer. The physics of the process of diffusion of impurities in a liquid medium under the influence of ultrasound is quite complex, but qualitatively it can be represented as follows: during acoustic cavitation throughout the volume there are oscillations and collapse of bubbles, due to this microscopic cumulative jets and shock waves are formed. intensification of impurity stirring in a liquid medium. It should be noted that such mixing occurs locally, without the presence of macroscopic flow. This is analogous to turbulence, where pulsations and small vortices are decisive. Thus, one of the approaches to modelling such local mixing in turbulence theory is the Boussinesq hypothesis. However, Boussinesq’s hypothesis on the theory of turbulence makes it possible to describe the local mixing that occurs during acoustic cavitation using the cavitation diffusion coefficient. This made it possible to use the methods of mathematical physics to model the process of diffusion of passive impurities in a liquid medium under the influence of ultrasound. In the course of the research, the expediency of constructing a mathematical model in the form of a differential equation in partial derivatives of the second order of the parabolic type with boundary conditions of the second type was substantiated.
Key words: mathematical modelling, diffusion, passive impurity, liquid medium, ultrasound.

References

1. Sirotyuk M. G. Akusticheskaya kavitaciya / M. G. Sirotyuk – M. : Nauka, 2008. – 271 s.
2. Monin A. S. Statisticheskaya gidromehanika. Ch. 1 / A. S. Monin, A. M. Yaglom – M. : Nauka, 1965. – 641 s.
3. Flinn G. Fizika akusticheskoj kavitacii v zhidkostyah / G. Flinn ; [per. s angl.]. – M. : Mir, 1967. – T. 1. – 138 s.
4. Landau L. D, Lifshic E. M. Gidrodinamika / L.D. Landau, E.M. Lifshic. – M. : Nauka, 1986. – 736 s.
5. Aleksin V. A. Matematicheskie modeli turbulentnyh techenij : uchebnoe posobie / V. A. Aleksin. – M. : MGIU, 2008. – 54 s.
6. Deinychenko H. V. Teoretychne ta eksperymentalne vyznachennia ratsionalnoi tryvalosti ultrazvukovoi obrobky dlia otrymannia vodno-zhyrovykh emulsii / H. V. Deinychenko, H. M. Postnov, V. M. Chervonyi, V. O. Starkov // Pratsi TDATU, vyp.17, T. 1. – Melitopol : TDATU, 2017.– 34–40.
7. Landsberg G. S. Optika / G. S. Landsberg. – 6-e izd., stereot. – M. : FIZMATLIT, 2003. – 848 s.
8. Martinson L. K. Differencialnye uravneniya matematicheskoj fiziki / L. K. Martinson, Yu. I. Malov. – M. : MGTU imeni N.E.Baumana, 2002. – 368 s.
9. Guhman A. A. Vvedenie v teoriyu podobiya / A. A. Guhman. – M. : Vysshaya shkola, 1973. – 296 s.
10. Sedov L. I. Metody podobiya i razmernosti v mehanike / L. I. Sedov. – M. : Nauka, 1987. – 423 s.
11. Vladimirov V. S. Uravneniya matematicheskoj fiziki / V. S. Vladimirov. – M. : Nauka, 1981. – 512 s.
12. Filippov A. F. Vvedenie v teoriyu differencialnyh uravnenij / A. F. Filippov. – Izd. 2-e. – M. : Nauka, 2007. – 240 s.
13. Zajcev V. F., Polyanin A. D. Metod razdeleniya peremennyh v matematicheskoj fizike / V. F. Zajcev, A. D. Polyanin. – SPb, 2009. – 92 s.
14. Kompyutery, modeli, vychislitelnyj eksperiment. – M. : Nauka, 1988. – 159 s.
15. Tihonov A. N. Uravneniya matematicheskoj fiziki : uchebnoe posobie / A. N. Tihonov, A. A. Samarskij. – 6-e izd., ispr. i dop. – M. : Izd-vo MGU, 1999. – 798 s.
16. Vasilev A. Excel 2010 na primerah / A. Vasilev. – M. : BHV – Peterburg, 2010. – 432 c.
17. Karmanov V. P. Matematicheskoe programmirovanie / V. P. Karmanov. – M. : Nauka, 1986. – 286 s.